Вибрані розділи теорії аналітичних функцій і опуклого аналізу

Спеціальність: Математика
Код дисципліни: 8.111.00.O.006
Кількість кредитів: 4.00
Кафедра: Вища математика
Лектор: професор Філевич Петро професор Дільний Володимир
Семестр: 2 семестр
Форма навчання: денна
Результати навчання: Внаслідок вивчення навчальної дисципліни аспірант повинен бути здатним продемонструвати такі результати навчання: 1. Оволодіти основними означеннями теорії множин, знати основні та часто використовувані приклади і властивості метричних і нормованих просторів. 2. Засвоїти поняття функції, аналітичної на кривій, аналітичне продовження вздовж кривої, знати властивості функцій, аналітичних на кривій. 3. Оволодіти поняттям повної аналітичної функції. Знати теорему про монодромію і теорему Пуанкаре-Вольтерра. 4. Засвоїти поняття однозначної гілки багатозначної функції та однозначної гілки на кривій, однозначної гілки функції Arg z на кривій, застосовувати їх на практиці; знати означення ріманової поверхні. 5. Вміти подати мероморфну функцію за її нулями і полюсами. 6. Знати класифікацію точок галуження і теорему про представлення аналітичної функції рядом в околі точки галуження. 7. Знати основні поняття і теореми теорії лишків і вміти їх застосовувати при обчисленнях. 8. Знати елементарні властивості аналітичних функцій від двох змінних. 9. Оволодіти основами теорії Вімана-Валірона. Вивчення навчальної дисципліни передбачає формування та розвиток у студентів компетентностей: • загальних: 1) глибинні знання сучасних методів проведення досліджень у галузі математики та в суміжних галузях; 2) здатність ефективно спілкуватися з широкою науковою спільнотою та громадськістю з актуальних питань математики, вільно читати та розуміти іноземні наукові статті; 3) критичний аналіз, оцінка і синтез нових ідей; • фахових: 1) грунтовні знання про сучасні тенденції розвитку та найбільш важливі досягнення математичної науки, а також в споріднених галузях; 2) глибинні знання і розуміння сучасних наукових теорій і методів та вміння їх ефективно застосовувати для синтезу та аналізу задач наукового дослідження; 3) здатність ефективно застосовувати математичні методи, в тому числі математичного та комп’ютерного моделювання. Результати навчання даної дисципліни деталізують такі програмні результати навчання: 1) глибинні знання сучасних математичних досліджень; 2) знання англійської мови, необхідні для усного та письмового представлення результатів наукових досліджень, ведення фахового наукового діалогу, повного розуміння англомовних наукових текстів. 3) умінні презентувати та обговорювати отримані результати та здійснювати трансфер набутих знань.
Необхідні обов'язкові попередні та супутні навчальні дисципліни: Попередні навчальні дисципліни; Аналітичні та чисельні методи досліджень Методи розв’язування крайових задач для диференціальних рівнянь із частинними похідними Супутні і наступні навчальні дисципліни: Теорія цілих та мероморфних функцій
Короткий зміст навчальної програми: Навчальна дисципліна «Вибрані розділи аналітичних функцій і опуклого аналізу» складається з розділів: «Аналітичні функції», «Функції аналітичні на кривій, аналітичне продовження», «Представлення мероморфної функції за її нулями і полюсами», «Розвинення в ряд в околі точки галуження», «Лишки, принцип аргументу. Аналітичні функції двох змінних» і «Теорія Вімана-Валірона». Розділ «Аналітичні функції» складається з тем: «Гомотопні криві. Приклади гомотопних кривих». «Гомотопність кривої і ламаної лінії. Гомотопність нулеві простої замкненої кривої», «Функція аналітична на кривій, аналітичне продовження вздовж кривої». «Аналітичне продовження вздовж гомотопних кривих», «Властивості функцій аналітичних на кривій», «Повна аналітична функція», «Гілки аналітичної функції, теорема про монодромію», «Однозначна гілка багатозначної функції на кривій, однозначна гілка функції Arg z, z? 0 на кривій», «Функція Ln z, z? 0. Ріманова поверхня цієї функції, її однозв’язна область». Розділ «Представлення мероморфної функції за її нулями і полюсами» складається з тем: «Формула Пуассона-Ієнсена», «Оцінка знизу модуля мероморфної функції». Розділ «Розвинення в ряд в околі точки галуження» складається з тем: «Логарифмічна особлива точка; розвинення у ряд в околі алгебричної точки галуження». Розділ «Лишки, принцип аргументу, аналітичні функції двох змінних», складається з тем: «Лишки, принцип аргументу», «Теорема Руше, теорема Гурвіца», «Аналітичні функції двох змінних», «Неявні функції». Розділ «Теорія Вімана-Валірона» складається з тем: «Аналітичні функції в смузі», «Поведінка аналітичної функції в околі точки максимуму, формула Макінтайра», «Асимптотичні розв’язки алгебричних рівнянь».
Методи та критерії оцінювання: Діагностика знань студентів проводиться за допомогою усного опитування на лекційних та практичних заняттях, контрольних, індивідуального науково-дослідного завдання. Розподіл балів у 100-бальній шкалі: поточний контроль - 40 балів семестровий контроль - 60 балів
Рекомендована література: Рекомендована література Базова 1. Ахієзер М. І. Курс теорії функцій. – К., 1933. 2. Georges Valiron. Analytic functions. – Chelsea Publishing Company, 1949, 208 p. Допоміжна 1. Сумик О.М., Чижиков І.Е. Мероморфні функції та лінійні диференціальні рівняння: Тексти лекцій. – Львів: Видавничий центр ЛНУ, 2005, 98 с. 2. Шеремета М.М., Заболоцький М.В. Мероморфні функції: Текст лекцій. – Львів: Видавничий центр ЛНУ, 2001, 53 с.