Елементи загальної топології
Спеціальність: Математика
Код дисципліни: 8.111.00.M.021
Кількість кредитів: 3.00
Кафедра: Вища математика
Лектор: професор Ільків Володимир
Семестр: 4 семестр
Форма навчання: денна
Результати навчання: Внаслідок вивчення навчальної дисципліни аспірант повинен бути здатним продемонструвати такі результати навчання:
1. Оволодіти основними поняттями теорії множин та їх відображень, вміти визначати потужності нескладних множин, ознайомитися з кардинальними числами.
2. Засвоїти загальні поняття метричних просторів та їх властивостей. Вміти наводити приклади повних метричних просторів, ознайомитись з поповненням метричних просторів.
3. Засвоїти поняття неперервних відображень метричних просторів, ознайомитися з їх властивостями. Освоїти поняття гометморфних відображень.
4. Оволодіти поняттями топологічного простору, внутрішності та замикання його підмножин. Ознайомитися з поняттями всюди щільних та ніде не щільних множин.
5. Засвоїти аксіоми відокремлення та пов’язані з ними поняття хаусдорфових, регулярних та нормальних просторів.
6. Оволодіти поняттями індукованої топології, тихонівського добутку просторів. Ознайомитися з гільбертовим і тихонівстьким кубом.
7. Засвоїти поняття зв’язності, локальної зв’язності та лінійної зв’язності підмножин топологічних просторів.
8. Оволодіти поняттями компактних просторів та їх основних властивостей. Засвоїти теореми про компактність топологічного добутку та вкладення в куби. Оволодіти поняттям компактифікації топологічного простору.
Вивчення навчальної дисципліни передбачає формування та розвиток у студентів компетентностей:
• загальних:
1) глибинні знання сучасних методів проведення досліджень у галузі математики та в суміжних галузях;
2) здатність ефективно спілкуватися з широкою науковою спільнотою та громадськістю з актуальних питань математики, вільно читати та розуміти іноземні наукові статті;
3) критичний аналіз, оцінка і синтез нових ідей;
• фахових:
1) грунтовні знання про сучасні тенденції розвитку та найбільш важливі досягнення математичної науки, а також в споріднених галузях;
2) глибинні знання і розуміння сучасних наукових теорій і методів та вміння їх ефективно застосовувати для синтезу та аналізу задач наукового дослідження;
3) здатність ефективно застосовувати математичні методи, в тому числі математичного та комп’ютерного моделювання.
Результати навчання даної дисципліни деталізують такі програмні результати навчання:
1) глибинні знання сучасних математичних досліджень;
2) знання англійської мови, необхідні для усного та письмового представлення результатів наукових досліджень, ведення фахового наукового діалогу, повного розуміння англомовних наукових текстів.
3) умінні презентувати та обговорювати отримані результати та здійснювати трансфер набутих знань.
Необхідні обов'язкові попередні та супутні навчальні дисципліни: Попередні навчальні дисципліни
Методи розв’язування крайових задач для диференціальних рівнянь із частинними похідними
Вибрані розділи теорії аналітичних функцій і опуклого аналізу
Короткий зміст навчальної програми: Навчальна дисципліна «Елементи загальної топології» складається з розділів: «Множини та їх відображення. Метричні простори», «Топологічні простори», і «Компактність і метризовність». У розділі «Елементи загальної топології» розглядаються наступні теми: «Множини. Відношення. Відображення», «Властивості відображень. Потужність множин», «Метричні простори», «Властивості метричних просторів», «Неперервні відображення метричних просторів», «Неперервність та відкриті і замкнені множини. Еквівалентність метрик». Розділ «Топологічні простори» складається з тем «Топології та способи їх задання», «Множини в топологічному просторі. Кардинальні функції», «Аксіоми відокремлення», «Дії над топологічними просторами», «Неперервні відображення топологічних просторів», «Зв’язність та її різновиди», «Продовження функцій і функціональна відокремленість». Розділ «Компактність і метризовність» складається з тем «Компактні простори», «Компактність топологічного добутку. Вкладення в куби. Компактифікація», «Різні компактифікації топологічних просторів», «Паракомпактність і метризовність».
Методи та критерії оцінювання: Діагностика знань студентів проводиться за допомогою усного опитування на лекційних та практичних заняттях, контрольних, індивідуального науково-дослідного завдання.
Розподіл балів у 100-бальній шкалі:
Поточний контроль (ПК) - 40 балів
Семестрова екзаменаційна контрольна робота - 60 балів
Рекомендована література: Рекомендована література
Базова
1. John L. Kelly. General Topology. – Dover Publications, 2017 (1955).
2. Бокало Б.М., Гуран І.Й., Зарічний М.М. Збірник задач з курсу диференціальної геометрії і топології (Загална топологія) – К.: ІСДО, 1994.
Допоміжна
1. Никифорчин О.Р. Елементи загальної топологїї. – Івано-Франківськ: Прикарп. Ун-т, 2002.
2. Гуран І.Й., Зарічний М.М. Диференціальна геометрія і топологія. – К.: НМК ВО, 1991, 92 с.
3. Гуран І. Й., Зарічний М.М. Елементи теорії топологічних груп. – К.: ІСДО 1992, 76 с.
4. Борисенко А.П. Курс лекцій з диференціальної геометрії і топології. – К.: Либідь, 1986.
5. Борисенко О.А. Диференціальна геометрія і топологія: навчальний посібник. – Х.: Основа, 1995, 304 с.