Рівняння математичної фізики
Спеціальність: Прикладна математика та інформатика
Код дисципліни: 6.113.00.O.030
Кількість кредитів: 6.00
Кафедра: Прикладна математика
Лектор: д.ф.-м.н., проф. Маркович Богдан Михайлович
Семестр: 5 семестр
Форма навчання: денна
Завдання: Внаслідок вивчення навчальної дисципліни студенти повинні бути здатними продемонструвати такі результати навчання: повинні знати класифікацію основних типів рівнянь в частинних похідних, умови існування розв’язків задач, основні властивості розв'язків.
Студенти повинні вміти будувати математичні моделі окремих типів фізичних явищ, визначати їх тип, знаходити розв’язок, проводити аналіз отриманих результатів.
Вивчення навчальної дисципліни передбачає формування та розвиток у студентів наступних компетентностей.
Загальні компетентності:
ЗК2 – базові знання математичних та природничих наук в обсязі, необхідному для освоєння професійно-орієнтованих дисциплін;
ЗК5 – здатність до застосування знань на практиці;
ЗК6 – здатність здійснювати пошук та аналізувати інформацію з різних джерел;
ЗК7 – мати дослідницькі навички;
ЗК13 – уміння ефективно спілкуватися на професійному та соціальному рівнях;
ЗК14 – креативність, здатність до системного мислення;
ЗК15 – потенціал до подальшого навчання.
Фахові компетентності:
ФК1 – базові знання наукових понять, теорій та методів, необхідних для розуміння принципів побудови, аналітичного та числового (обчислювальний експеримент) дослідження математичних моделей;
ФК3 – уміння застосовувати та інтегрувати знання і розуміння дисциплін інших спеціальностей;
ФК7 – здатність використовувати набуті знання та вміння для дослідження, вибору впровадження та проектування математичних моделей та програмно-інформаційних комплексів для їх дослідження;
ФК10 – уміння аргументувати вибір методів дослідження математичних моделей, критично оцінювати отримані результати та захищати прийняті рішення.
Результати навчання: ЗН1 – здатність продемонструвати знання та розуміння базових наукових та математичних принципів, що лежать в основі математичного моделювання;
ЗН3 – здатність продемонструвати базові знання в одній з областей математичного моделювання;
УМ1 – застосовувати знання і розуміння для ідентифікації та вирішення задач спеціальності, використовуючи відомі методи.
Необхідні обов'язкові попередні та супутні навчальні дисципліни: Пререквізити:
• математичний аналіз;
• алгебра і геометрія;
• диференціальні рівняння;
Кореквізити:
• чисельні методи математичної фізики.
Короткий зміст навчальної програми: Навчальна дисципліна «Рівняння математичної фізики» є складовою освітньо-професійної програми підготовки фахівців за першим рівнем вищої освіти «бакалавр» галузі знань 11– «Математика та статистика» зі спеціальності 113 – «Прикладна математика» за освітньою програмою «Прикладна математика та інформатика». Дана дисципліна є обов’язковою. Викладається в 5-му семестрі 3-го курсу в обсязі – 180 год. (6 кредитів ECTS) зокрема: лекції – 45 год., практичні заняття – 30 год., самостійна робота – 105 год. У курсі передбачено 5 контрольних роботи. Завершується дисципліна іспитом.
Курс присвячений ознайомленню студентів із методами побудови математичних моделей різних фізичних процесів, теорією таких моделей та оволодінню основними методами їх аналізу та розв’язування.
Опис: Розділ 1. «Класифікація та зведення до канонічного вигляду диференціальних рівнянь в частинних похідних другого порядку».
Диференціальні рівняння з двома незалежними змінними. Диференціальні рівняння з багатьма незалежними змінними. Канонічні форми лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.
Розділ 2. «Основні математичні моделі фізичних задач».
Задачі, які приводять до рівнянь гіперболічного типу (малі поперечні коливання струни, малі коливання мембрани, малі поздовжні коливання стержня, електричні коливання в провідниках).
Задачі, які приводять до рівнянь параболічного типу (рівняння теплопровідності для стержня, поширення тепла у просторі, рівняння дифузії).
Задачі, які приводять до рівнянь еліптичного типу (стаціонарне температурне поле, рівняння електростатики, рівняння Лапласа в ортогональній криволінійній системі координат).
Розділ 3. «Метод біжучих хвиль».
Задача Коші для хвильового рівняння на нескінченній прямій (формула Даламбера, фізичний зміст формули Даламбера, неперервна залежність розв’язку задачі Коші від початкових умов, неоднорідне рівняння, метод Дюамеля).
Мішана задача для хвильового рівняння на півпрямій та на відрізку (метод продовження для півпрямої, метод продовження для відрізку, неоднорідні крайові умови).
Задачі для рівняння другого порядку гіперболічного типу на площині (задача Коші, метод Рімана, задача Гурса).
Поширення хвиль у просторі (часткові розв’язки однорідного хвильового рівняння, метод усереднення, неоднорідне хвильове рівняння, формула Кірхгофа, неоднорідне хвильове рівняння на площині та метод спуску, фізичний зміст розв’язків хвильового рівняння в просторі та на площині, метод продовження).
Розділ 4. «Метод розділення змінних. Розклад за власними функціями задачі Штурма-Ліувілля».
Однорідні крайові умови. Неоднорідні крайові умови. Інтегральні перетворення Фур’є та Лапласа.
Розділ 5. «Крайові задачі для рівняння коливань».
Теорема про єдиність розв’язку. Рівняння вільних коливань струни із закріпленими кінцями, фізична інтерпретація розв'язку. Неоднорідне рівняння коливань. Випадок локалізованої в точці сили.
Розділ 6. «Рівняння теплопровідності».
Принцип максимуму для розв’язків рівняння теплопровідності. Теорема про єдиність розв’язку.
Рівняння теплопровідності на відрізку. Рівняння теплопровідності на прямій. Рівняння теплопровідності на півпрямій (однорідні та неоднорідні крайові умови). Рівняння теплопровідності в просторі та на площині.
Розділ 7. «Крайові задачі для рівнянь Лапласа та Пуассона».
Постановка крайових задач. Фундаментальні розв'язки рівняння Лапласа у просторі та на площині. Перетворення інверсії.
Формули Гріна. Основні властивості гармонічних функцій. Принцип максимуму та його наслідки.
Властивості розв’язків задачі Діріхле. Властивості розв’язків другої та третьої крайових задач.
Розділ 8. «Метод розділення змінних для рівняння Лапласа».
Задача Діріхле в крузі. Інтеграл Пуассона.
Розділ 9. «Функція Гріна оператора Лапласа».
Функція Гріна задачі Діріхле. Функція Гріна третьої крайової задачі. Функція Гріна задачі Неймана.
Метод електростатичних зображень. Подання функції Гріна у вигляді ряду. Метод конформного відображення.
Розділ 10. «Теорія потенціалу».
Об’ємний потенціал та його властивості. Поверхні та криві Ляпунова. Потенціал подвійного шару та його властивості. Потенціал простого шару та його властивості.
Застосування потенціалів до розв’язування крайових задач.
Методи та критерії оцінювання: • практичні заняття, усне опитування, контрольні роботи (30%);
• підсумковий контроль (70%): іспит у письмово-усній формі.
Критерії оцінювання результатів навчання: 100–88 балів – («відмінно») виставляється за високий рівень знань (допускаються деякі неточності) навчального матеріалу компонента, що міститься в основних і додаткових рекомендованих літературних джерелах, вміння аналізувати явища, які вивчаються, у їхньому взаємозв’язку і роз витку, чітко, лаконічно, логічно, послідовно відповідати на поставлені запитання, вміння застосовувати теоретичні положення під час розв’язання практичних задач; 87–71 бал – («добре») виставляється за загалом правильне розуміння навчального матеріалу компонента, включаючи розрахунки , аргументовані відповіді на поставлені запитання, які, однак, містять певні (неістотні) недоліки, за вміння застосовувати теоретичні положення під час розв’язання практичних задач; 70 – 50 балів – («задовільно») виставляється за слабкі знання навчального матеріалу компонента, неточні або мало аргументовані відповіді, з порушенням послідовності викладення, за слабке застосування теоретичних положень під час розв’язання практичних задач; 49–26 балів – («не атестований» з можливістю повторного складання семестрового контролю) виставляється за незнання значної частини навчального матеріалу компонента, істотні помилки у відповідях на запитання, невміння застосувати теоретичні положення під час розв’язання практичних задач; 25–00 балів – («незадовільно» з обов’язковим повторним вивченням) виставляється за незнання значної частини навчального матеріалу компонента, істотні помилки у відповідях на запитання, невміння орієнтуватися під час розв’язання практичних задач, незнання основних фундаментальних положень.
Порядок та критерії виставляння балів та оцінок: Навчальна дисципліна, завершується семестровим контролем, форма якого передбачена навчальним планом із виставленням семестрової оцінки.
Семестрова оцінка складається із суми балів, передбачених на поточний контроль та екзаменаційний контроль. Цю інформацію викладач доводить студентам на першому занятті з навчальної дисципліни.
Рекомендована література: 1. Маркович Б. М. Рівняння математичної фізики. –Львів: Видавництво Національного університету «Львівська політехніка», 2010. –384 с.
2. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. –М.: Наука, 1977. –736 с.
3. Арсенин В. Я. Математическая физика. Основные уравнения и специальные функции. –М.: Наука, 1966. –368 с.
4. Перестюк М. О., Маринець В. В. Теорія рівнянь математичної фізики. –К.: Либідь, 2001. –336 с.
Уніфікований додаток: Національний університет «Львівська політехніка» забезпечує реалізацію права осіб з інвалідністю на здобуття вищої освіти. Інклюзивні освітні послуги надає Служба доступності до можливостей навчання «Без обмежень», метою діяльності якої є забезпечення постійного індивідуального супроводу навчального процесу студентів з інвалідністю та хронічними захворюваннями. Важливим інструментом імплементації інклюзивної освітньої політики в Університеті є Програма підвищення кваліфікації науково-педагогічних працівників та навчально-допоміжного персоналу у сфері соціальної інклюзії та інклюзивної освіти. Звертатися за адресою:
вул. Карпінського, 2/4, І-й н.к., кімн. 112
E-mail: nolimits@lpnu.ua
Websites: https://lpnu.ua/nolimits https://lpnu.ua/integration
Академічна доброчесність: Політика щодо академічної доброчесності учасників освітнього процесу формується на основі дотримання принципів академічної доброчесності з урахуванням норм «Положення про академічну доброчесність у Національному університеті «Львівська політехніка» (затверджене вченою радою університету від 20.06.2017 р., протокол № 35).