Чисельні методи, частина 1
Спеціальність: Прикладна математика та інформатика
Код дисципліни: 6.113.04.O.033
Кількість кредитів: 7.00
Кафедра: Прикладна математика
Лектор: канд. фіз.-мат. наук доцент Пізюр Ярополк Володимирович
Семестр: 6 семестр
Форма навчання: денна
Завдання: Вивчення навчальної дисципліни передбачає формування у здобувачів освіти компетентностей:
• загальних:
ЗК01, ЗК02, ЗК03, ЗК04,ЗК06, ЗК08, ЗК12 відповідно до ОПП;
• фахових:
ФК02; ФК03 відповідно до ОПП.
Результати навчання: • знати основні чисельні методи розв’язування складних математичних задач;
• уміти вибирати метод чисельного розв’язування, застосувати цей метод до прикладної задачі, оцінити точність одержаного результату.
Необхідні обов'язкові попередні та супутні навчальні дисципліни: • математичний аналіз, алгебра і геометрія, функціональний аналіз, програмування;
• чисельні методи ч. 2, чисельні методи математичної фізики.
Короткий зміст навчальної програми: Чисельне розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (прямі та ітераційні методи), дослідження збіжності ітераційних методів. Методи розв’язування нелінійних рівнянь та систем нелінійних рівнянь (ділення навпіл, послідовних наближень, Ньютона, січних). Інтерполяція та чисельне диференціювання. Чисельне інтегрування (квадратурні формули Ньютона-Котеса, квадратурні формули Гаусса), оцінка похибки квадратурних формул.
Опис: Вступ. Математичне моделювання та обчислювальний експеримент.
1. Чисельне розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР).
1.1. Прямі методи розв’язування СЛАР. Метод Гауса, метод прогонки. Норми та обумовленість матриць систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
1.2. Ітераційні методи розв’язування СЛАР. Приклади ітераційних методів. Канонічний вигляд ітераційних методів.
1.3. Дослідження збіжності ітераційних методів. Матричні нерівності та дії з ними. Поняття збіжності ітераційних методів. Достатні умови збіжності. Необхідна і достатня умова збіжності. Оцінка швидкості збіжності стаціонарних ітераційних методів. Многочлени Чебишова. Ітераційний метод з чебишовським набором параметрів.
2 Методи розв’язування нелінійних рівнянь та систем
2.1. Чисельне розв’язування нелінійних рівнянь. Методи ділення навпіл, послідовних наближень, Ньютона, січних.
2.2. Розв’язування систем нелінійних рівнянь. Метод послідовних наближень, метод Ньютона.
3. Наближення функцій та чисельне диференціювання
3.1. Інтерполяційні многочлени. Постановка задачі наближення функції. Інтерполяційний многочлен Лагранжа. Розділені різниці, інтерполяційна формула Ньютона, інтерполяція за схемою Ейткена, скінченні різниці, інтерполяційні формули Ньютона інтерполювання вперед і назад.
3.2. Похибка інтерполяції. Оптимальний вибір вузлів інтерполяції.
3.3. Розділені різниці та інтерполювання з кратними вузлами.
3.4. Найкраще наближення в нормованому та гільбертовому просторах. Метод найменших квадратів.
3.5. Інтерполяція сплайнами.
3.6. Чисельне диференціювання. Інтерполяційні формули чисельного диференціювання.
4. Чисельне інтегрування
4.1. Інтерполяційні формули чисельного інтегрування. Інтерполяційні квадратурні формули, квадратурні формули Ньютона-Котеса.
4.2. Квадратурні формули Гаусса.
4.3. Практична оцінка похибки квадратурних формул. Наближене обчислення невластивих інтегралів.
Методи та критерії оцінювання: • Поточний контроль (40%): опитування на практичних та лабораторних заняттях, письмові звіти з лабораторних робіт, захист розрахункових робіт, тести.
• Підсумковий контроль (60%) іспит.
Критерії оцінювання результатів навчання: Поточний контроль - 40 балів:
Робота на практичних заняттях - 5 б.
Виконання та захист лабораторних робіт -15 б.
Контрольні (4 тести у ВНС) - 12 б.
Індивідуальне науково-дослідне завдання (2) - 8 б.
Екзаменаційний контроль - 60 балів.
Разом за дисципліну - 100 балів.
Порядок та критерії виставляння балів та оцінок: 100–88 балів – («відмінно») виставляється за високий рівень знань (допускаються деякі неточності) навчального матеріалу компонента, що міститься в основних і додаткових рекомендованих літературних джерелах, вміння аналізувати явища, які вивчаються, у їхньому взаємозв’язку і роз витку, чітко, лаконічно, логічно, послідовно відповідати на поставлені запитання, вміння застосовувати теоретичні положення під час розв’язання практичних задач; 87–71 бал – («добре») виставляється за загалом правильне розуміння навчального матеріалу компонента, включаючи розрахунки , аргументовані відповіді на поставлені запитання, які, однак, містять певні (неістотні) недоліки, за вміння застосовувати теоретичні положення під час розв’язання практичних задач; 70 – 50 балів – («задовільно») виставляється за слабкі знання навчального матеріалу компонента, неточні або мало аргументовані відповіді, з порушенням послідовності викладення, за слабке застосування теоретичних положень під час розв’язання практичних задач; 49–26 балів – («не атестований» з можливістю повторного складання семестрового контролю) виставляється за незнання значної частини навчального матеріалу компонента, істотні помилки у відповідях на запитання, невміння застосувати теоретичні положення під час розв’язання практичних задач; 25–00 балів – («незадовільно» з обов’язковим повторним вивченням) виставляється за незнання значної частини навчального матеріалу компонента, істотні помилки у відповідях на запитання, невміння орієнтуватися під час розв’язання практичних задач, незнання основних фундаментальних положень.
Рекомендована література: 1. Гаврилюк І.П., Макаров В.Л. Методи обчислень. –К.:Вища школа, 1995, ч.1, ч.2 .
2. Кутнів М.В., Пізюр Я.В. Чисельні методи: Підручник.– Львів: Видавництво «Растр-7», 2024.– 278 с.
3. Кутнів М.В. Чисельні методи: Навчальний посібник.– Львів: Видавництво «Растр-7», 2010.– 288 с.
4. Андруник В.А., Висоцька В.А., Пасічник В.В., Чирун Л.Б., Чирун Л.В. Чисельні методи в комп‘ютерних науках: навчальний посібник – Львів: Видавництво «Новий світ – 2000», 2020. – 470 с.
Уніфікований додаток: Національний університет «Львівська політехніка» забезпечує реалізацію права осіб з інвалідністю на здобуття вищої освіти. Інклюзивні освітні послуги надає Служба доступності до можливостей навчання «Без обмежень», метою діяльності якої є забезпечення постійного індивідуального супроводу навчального процесу студентів з інвалідністю та хронічними захворюваннями. Важливим інструментом імплементації інклюзивної освітньої політики в Університеті є Програма підвищення кваліфікації науково-педагогічних працівників та навчально-допоміжного персоналу у сфері соціальної інклюзії та інклюзивної освіти. Звертатися за адресою:
вул. Карпінського, 2/4, І-й н.к., кімн. 112
E-mail: nolimits@lpnu.ua
Websites: https://lpnu.ua/nolimits https://lpnu.ua/integration
Академічна доброчесність: Політика щодо академічної доброчесності учасників освітнього процесу формується на основі дотримання принципів академічної доброчесності з урахуванням норм «Положення про академічну доброчесність у Національному університеті «Львівська політехніка» (затверджене вченою радою університету від 20.06.2017 р., протокол № 35).