Чисельні методи, частина 1
Спеціальність: Прикладна математика та інформатика
Код дисципліни: 6.113.04.O.033
Кількість кредитів: 7.00
Кафедра: Прикладна математика
Лектор: канд. фіз.-мат. наук доцент Пізюр Ярополк Володимирович
Семестр: 6 семестр
Форма навчання: денна
Завдання: Вивчення навчальної дисципліни передбачає формування у здобувачів освіти компетентностей:
• загальних:
ЗК01, ЗК02, ЗК03, ЗК04,ЗК06, ЗК08, ЗК12 відповідно до ОПП;
• фахових:
ФК02; ФК03 відповідно до ОПП.
Результати навчання: • знати основні чисельні методи розв’язування складних математичних задач;
• уміти вибирати метод чисельного розв’язування, застосувати цей метод до прикладної задачі, оцінити точність одержаного результату.
Необхідні обов'язкові попередні та супутні навчальні дисципліни: • математичний аналіз, алгебра і геометрія, функціональний аналіз, програмування;
• чисельні методи ч. 2, чисельні методи математичної фізики.
Короткий зміст навчальної програми: Чисельне розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (прямі та ітераційні методи), дослідження збіжності ітераційних методів. Методи розв’язування нелінійних рівнянь та систем нелінійних рівнянь (ділення навпіл, послідовних наближень, Ньютона, січних). Інтерполяція та чисельне диференціювання. Чисельне інтегрування (квадратурні формули Ньютона-Котеса, квадратурні формули Гаусса), оцінка похибки квадратурних формул.
Опис: Вступ. Математичне моделювання та обчислювальний експеримент.
1. Чисельне розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР).
1.1. Прямі методи розв’язування СЛАР. Метод Гауса, метод прогонки. Норми та обумовленість матриць систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
1.2. Ітераційні методи розв’язування СЛАР. Приклади ітераційних методів. Канонічний вигляд ітераційних методів.
1.3. Дослідження збіжності ітераційних методів. Матричні нерівності та дії з ними. Поняття збіжності ітераційних методів. Достатні умови збіжності. Необхідна і достатня умова збіжності. Оцінка швидкості збіжності стаціонарних ітераційних методів. Многочлени Чебишова. Ітераційний метод з чебишовським набором параметрів.
2 Методи розв’язування нелінійних рівнянь та систем
2.1. Чисельне розв’язування нелінійних рівнянь. Методи ділення навпіл, послідовних наближень, Ньютона, січних.
2.2. Розв’язування систем нелінійних рівнянь. Метод послідовних наближень, метод Ньютона.
3. Наближення функцій та чисельне диференціювання
3.1. Інтерполяційні многочлени. Постановка задачі наближення функції. Інтерполяційний многочлен Лагранжа. Розділені різниці, інтерполяційна формула Ньютона, інтерполяція за схемою Ейткена, скінченні різниці, інтерполяційні формули Ньютона інтерполювання вперед і назад.
3.2. Похибка інтерполяції. Оптимальний вибір вузлів інтерполяції.
3.3. Розділені різниці та інтерполювання з кратними вузлами.
3.4. Найкраще наближення в нормованому та гільбертовому просторах. Метод найменших квадратів.
3.5. Інтерполяція сплайнами.
3.6. Чисельне диференціювання. Інтерполяційні формули чисельного диференціювання.
4. Чисельне інтегрування
4.1. Інтерполяційні формули чисельного інтегрування. Інтерполяційні квадратурні формули, квадратурні формули Ньютона-Котеса.
4.2. Квадратурні формули Гаусса.
4.3. Практична оцінка похибки квадратурних формул. Наближене обчислення невластивих інтегралів.
Методи та критерії оцінювання: • Поточний контроль (40%): опитування на практичних та лабораторних заняттях, письмові звіти з лабораторних робіт, захист розрахункових робіт, тести.
• Підсумковий контроль (60%) іспит.
Критерії оцінювання результатів навчання: Поточний контроль - 40 балів:
Робота на практичних заняттях - 5 б.
Виконання та захист лабораторних робіт -15 б.
Контрольні (4 тести у ВНС) - 12 б.
Індивідуальне науково-дослідне завдання (2) - 8 б.
Екзаменаційний контроль - 60 балів.
Разом за дисципліну - 100 балів.
Порядок та критерії виставляння балів та оцінок: 100-88 балів - атестований з оцінкою «відмінно» - Високий рівень: здобувач освіти демонструє поглиблене володіння поняттєвим та категорійним апаратом навчальної дисципліни, системні знання, вміння і навички їх практичного застосування. Освоєні знання, вміння і навички забезпечують можливість самостійного формулювання цілей та організації навчальної діяльності, пошуку та знаходження рішень у нестандартних, нетипових навчальних і професійних ситуаціях. Здобувач освіти демонструє здатність робити узагальнення на основі критичного аналізу фактичного матеріалу, ідей, теорій і концепцій, формулювати на їх основі висновки. Його діяльності ґрунтується на зацікавленості та мотивації до саморозвитку, неперервного професійного розвитку, самостійної науково-дослідної діяльності, що реалізується за підтримки та під керівництвом викладача. 87-71 балів - атестований з оцінкою «добре» - Достатній рівень: передбачає володіння поняттєвим та категорійним апаратом навчальної дисципліни на підвищеному рівні, усвідомлене використання знань, умінь і навичок з метою розкриття суті питання. Володіння частково-структурованим комплексом знань забезпечує можливість їх застосування у знайомих ситуаціях освітнього та професійного характеру. Усвідомлюючи специфіку задач та навчальних ситуацій, здобувач освіти демонструє здатність здійснювати пошук та вибір їх розв’язання за поданим зразком, аргументувати застосування певного способу розв’язання задачі. Його діяльності ґрунтується на зацікавленості та мотивації до саморозвитку, неперервного професійного розвитку. 70-50 балів - атестований з оцінкою «задовільно» - Задовільний рівень: окреслює володіння поняттєвим та категорійним апаратом навчальної дисципліни на середньому рівні, часткове усвідомлення навчальних і професійних задач, завдань і ситуацій, знання про способи розв’язання типових задач і завдань. Здобувач освіти демонструє середній рівень умінь і навичок застосування знань на практиці, а розв’язання задач потребує допомоги, опори на зразок. В основу навчальної діяльності покладено ситуативність та евристичність, домінування мотивів обов’язку, неусвідомлене застосування можливостей для саморозвитку. 49-00 балів - атестований з оцінкою «незадовільно» - Незадовільний рівень: свідчить про елементарне володіння поняттєвим та категорійним апаратом навчальної дисципліни, загальне уявлення про зміст навчального матеріалу, часткове використання знань, умінь і навичок. В основу навчальної діяльності покладено ситуативно-прагматичний інтерес.
Рекомендована література: 1. Гаврилюк І.П., Макаров В.Л. Методи обчислень. –К.:Вища школа, 1995, ч.1, ч.2 .
2. Кутнів М.В., Пізюр Я.В. Чисельні методи: Підручник.– Львів: Видавництво «Растр-7», 2024.– 278 с.
3. Кутнів М.В. Чисельні методи: Навчальний посібник.– Львів: Видавництво «Растр-7», 2010.– 288 с.
4. Андруник В.А., Висоцька В.А., Пасічник В.В., Чирун Л.Б., Чирун Л.В. Чисельні методи в комп‘ютерних науках: навчальний посібник – Львів: Видавництво «Новий світ – 2000», 2020. – 470 с.
Уніфікований додаток: Національний університет «Львівська політехніка» забезпечує реалізацію права осіб з інвалідністю на здобуття вищої освіти. Інклюзивні освітні послуги надає Служба доступності до можливостей навчання «Без обмежень», метою діяльності якої є забезпечення постійного індивідуального супроводу навчального процесу студентів з інвалідністю та хронічними захворюваннями. Важливим інструментом імплементації інклюзивної освітньої політики в Університеті є Програма підвищення кваліфікації науково-педагогічних працівників та навчально-допоміжного персоналу у сфері соціальної інклюзії та інклюзивної освіти. Звертатися за адресою:
вул. Карпінського, 2/4, І-й н.к., кімн. 112
E-mail: nolimits@lpnu.ua
Websites: https://lpnu.ua/nolimits https://lpnu.ua/integration
Академічна доброчесність: Політика щодо академічної доброчесності учасників освітнього процесу формується на основі дотримання принципів академічної доброчесності з урахуванням норм «Положення про академічну доброчесність у Національному університеті «Львівська політехніка» (затверджене вченою радою університету від 20.06.2017 р., протокол № 35).