Ймовірнісні процеси
Спеціальність: Видавництво та поліграфія
Код дисципліни: 6.186.00.O.052
Кількість кредитів: 6.00
Кафедра: Інформаційні технології видавничої справи
Лектор: д.т.н., професор, Рашкевич Юрій Михайлович
Семестр: 4 семестр
Форма навчання: денна
Результати навчання: 1. Знати і вміти застосовувати на практиці основні ймовірнісні методи
2. Знати та вміти застосовувати базові методи якісного аналізу моделей.
3. Визначати межі та методи статистичних досліджень, застосовуючи сучасні методи.
4. Мати уяву про класичні і сучасні методи дослідження, про межі застосування аналітичних методів, і, як наслідок, співвідношенням між чисельними і аналітичними методами дослідження.
Необхідні обов'язкові попередні та супутні навчальні дисципліни: Пререквізити:
• Математичний аналіз;
• Лінійна алгебра;
• Нечіткі множини;
• Основи математичної статистики.
Короткий зміст навчальної програми: 1. Предмет вивчення і задачі дисципліни. Основні історичні етапи розвитку і становлення. Досягнення вітчизняної школи. Сучасний стан розвитку теорії та застосувань.
2. Основні поняття теорії випадкових процесів Означення та приклади випадкових процесів. Класифікація випадкових процесів. Скінченновимінрі розподіли. Теорема Колмогорова. Реалізації. Моменти. Кореляційна функція. Властивості числових характеристик. Означення стаціонарних у вузькому та широкому змісті процесів. Приклади. Дійсна та комплексна випадкові гармоніки. Гаусовський процес. Універсальний характер нормального розподілу. Властивості гаусівських систем. Система скінченновимірних розподілів гаусівського процесу. Нормальні процеси із дискретним та неперервним часом.
3. Ланцюг Маркова. Випадкове блукання. Матриця ймовірностей переходу ланцюга Маркова за один та за декілька кроків. Властивості. Існування стаціонарного розподілу-ергодична теорема. Інтерпретації стаціонарного розподілу.
4. Процеси Маркова. Марківська властивість. Однорідний процес із дискретною множиною станів. Системи прямих та обернених рівнянь Колмогорова-Чепмена для перехідних ймовірностей та ймовірностей перебування у стані. Існування граничного розподілу. Простіший потік випадкових подій , його властивості та застосування . Процеси Маркова в теорії масового обслуговування. Система Ерланга. Ймовірність втрати. Системи із очікуванням. Розподіл часу чекання моменту початку обслуговування. Поняття про оптимальність для систем масового обслуговування.
5. Процеси із незалежними приростами. Процес Пуассона. Випадковий телеграфний сигнал. Узагальнений телеграфний сигнал. Зв'язок між різними означеннями процесу Пуассона. Суперпозиція процесів Пуассона. Просіяний процес. Процес Крамера-Лундберга. Броунівський рух. Різні означення, властивості та застосування. Загальні процеси із незалежними приростами та їх застосування.
6. Лінійні перетворення випадкових процесів. Канонічний розклад випадкових процесів та лінійні перетворення процесів ,поданих у вигляді канонічного розподілу Зв'язок із канонічним розкладом кореляційної функції. Неперервність, похідна та інтегрування випадкових процесів відповідно до виду збіжності випадкових величин. Критерії середньоквадратичної збіжності. Змінення числових характеристик випадкових процесів при лінійних перетвореннях. Приклади застосування - RC-ланцюжок. Випадки зберігання стаціонарності при лінійних перетвореннях. Спектр стаціонарного процесу. Спектральна щільність.
7. Мартингали. Означення мартингалів із дискретним часом. Симетричне випадкове блукання як приклад мартингала. Приклади. Класична задача про розорення гравця, середня тривалість гри, ймовірність розорення. Задача про розорення інвестора із застосуванням мартингалів. Момент зупинки. Тотожності Вальда. Мартингали із неперервним часом. Застосування мартингалів для дослідження моменту виходу вінерівського процесу за рівень.
Методи та критерії оцінювання: • письмові звіти з лабораторних робіт, усне опитування, контрольна робота (40%);
• підсумковий контроль (контрольний захід): письмово-усна форма (60%).
Рекомендована література: 1. Steve Lally, Stochastic processes lecture notes, Galton. Uchicago.edu., 2016.
2. А.В.Скороход, Лекції з теорії випадкових процесів, Київ.1990, 164 с
3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения.-М.-Высшая школа , 2007, 480с.